Sprache:

Sprache:

DIE PRIMZAHLENSERIE

Primzahlen verstehen und bestimmen lernen

 

Vorwort

 

Eine mindestens seit dem 3. Jahrhundert v. Chr. bekannte Methode zur Bestimmung aller Primzahlen bis zu einem gewählten Wert ist ein Sieb, der nach Eratosthenes benannt wurde. Der Algorithmus dieses Siebes kann nicht genug gewürdigt werden: Er kann als Fundament für weitere Erkenntnisse in der Primzahlenforschung verwendet werden. Ein wichtiges Werkzeug hierzu, die Mengenlehre, steht dank ihrem Begründer Georg Cantor, zur Verfügung.

Doch was wurde außer dem Sieb des Eratosthenes auf diesem Gebiet bisher noch gefunden?

Mersennesche Primzahlen

Fermatsche Primzahlen

Gaußsche Primzahlen

Goldbachsche Vermutungen:
Jede gerade Zahl > 2 ist Summe zweier Primzahlen.
Jede ungerade Zahl > 5 ist Summe dreier Primzahlen.

Euler’s Formel n² + n + 41 liefert mit n \in \mathbb{N} für jedes n im Bereich 0 ≤ n ≤ 39 Primzahlen. Für n > 39 ergibt n² + n + 41 entweder eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl.

Willans Formel

Sätze von Euklid, Fermat, Euler und Wilson

Primzahlsatz

Riemannsche Vermutung

Fermat-Primzahltest

Lucas-Lehmer-Test

Rabin-Miller-Primzahltest

AKS-Primzahltest

Und anderes.

In dieser Primzahlenserie sollen weitere Wege aufgezeigt werden, wie Primzahlen bestimmt werden können.

Ein Weg ist in obigem Mengendiagramm skizziert. Das Diagramm stellt den Zusammenhang der drei unendlichen Mengen \mathbb{P},{\mathbb{U}_{km}} und der Grundmenge {\mathbb{U}_{2}} im endlichen Bereich dar.

\mathbb{P} steht für die unendliche Menge aller Primzahlen.

{\mathbb{U}_{km}} steht für die unendliche Menge aller zusammengesetzten, ungeraden Zahlen.

{\mathbb{U}_{2}} steht für die unendliche Menge aller ungeraden Zahlen größer 2 und der Zahl 2.

Eine zusammengesetzte, ungerade Zahl ist das Produkt von mindestens zwei ungeraden Zahlen, die jeweils größer als 2 sind.

Kein Element von \mathbb{P} ist ein Element von {\mathbb{U}_{km}}.

Kein Element von {\mathbb{U}_{km}} ist ein Element von \mathbb{P}.

Alle Elemente von \mathbb{P} sind auch Elemente von {\mathbb{U}_{2}}.

Alle Elemente von {\mathbb{U}_{km}} sind auch Elemente von {\mathbb{U}_{2}}.

Darüber hinaus besitzt die Grundmenge {\mathbb{U}_{2}} keine weiteren Elemente.

\mathbb{P} ist also die Komplementärmenge von {\mathbb{U}_{km}} bezüglich der Grundmenge {\mathbb{U}_{2}}.

D.h. \mathbb{P} kann explizit ermittelt werden, wenn  {\mathbb{U}_{km}} und die Grundmenge {\mathbb{U}_{2}} bekannt sind. Ausführlich mit Beweisen und Beispielen wird hierzu im Beitrag

>Die Bestimmung aller Primzahlen in einem gewählten Bereich mit der u-Methode<

eingegangen.

 

München, 9. August 2019
Gottfried Färberböck