Die allgemeine Mengenoperation zur Bestimmung aller Primzahlen in einem gewählten Bereich

DIE PRIMZAHLENSERIE

Beitrag 4

Es sei $\mathbb{P}$ die unendliche Menge aller Primzahlen.

Behauptung:

$\mathbb{P}$ = (ℕ \ {0,1}) \ (ℕ \ {0,1})²

Beweis:

ℕ = {0,1,2,…}

ℕ \ {0,1} = {2,3,4,…}

(ℕ \ {0,1})² = (ℕ \ {0,1}) x (ℕ \ {0,1}) = {2,3,4,…} x {2,3,4,…} =
(ℕ \ {0,1})² = {{4,6,8,…},{6,9,12,…},{8,12,16,…},…}

Die Menge ℕ besteht aus den Zahlen 0 und 1 sowie allen zusammengesetzten Zahlen und allen nicht zusammengesetzten Zahlen, d.h. Primzahlen.

Definition: Eine zusammengesetzte Zahl ist das Produkt von zwei natürlichen Zahlen, beide > 1.

Wohlgemerkt: Es heißt nicht zwei Primfaktoren. Das wäre falsch. Aber: Setzt sich eine zusammengesetzte Zahl aus mehr als zwei Primfaktoren zusammen, dann lassen sich diese immer in die Form von zwei natürlichen Zahlen bringen.

ℕ = {{0,1}, { a*b ʌ a,b ϵ ℕ ʌ a,b > 1}, $\mathbb{P}$ }

Da alle Primzahlen p ϵ ℕ ʌ p > 1, kann {0,1} nicht Teilmenge von $\mathbb{P}$ sein.

Die Differenzmenge

ℕ \ {0,1} = {2,3,4,…}

erfaßt alle natürlichen Zahlen >1. Diese Differenzmenge besteht aus den ganzzahlig teilbaren Zahlen und der Menge $\mathbb{P}$ .

Mit
(ℕ \ {0,1}) x (ℕ \ {0,1}) = {2,3,4,…} x {2,3,4,…} =
= {{4,6,8,…},{6,9,12,…},{8,12,16, …}, {10,15,20,…}, {12,18,24},{…},…}
sind alle möglichen Produkte der natürlichen Zahlen >1 erfaßt. Dadurch sind alle ganzzahlig teilbaren natürlichen Zahlen gegeben.

Dies beweist, daß die Differenzmenge

$\mathbb{P}$ = (ℕ \ {0,1}) \ (ℕ \ {0,1})²

nur aus der unendlichen Menge aller Primzahlen bestehen kann.

Beispiel: Es sollen alle Primzahlen 1000<p<1020 bestimmt werden, sofern vorhanden:

Der zu untersuchende Zahlenbereich sind die natürlichen Zahlen
$\overset{1019}{\underset{1001}{\mathbb{N}}}$ = {n | n ϵ ℕ ʌ 1000<n<1020} = {1001,1002,1003,1004,1005,1006,1007,1008,1009,
1010,1011,1012,1013,1014,1015,1016,1017,1018,
1019}

Die Menge der zusammengesetzten Zahlen $\mathbb{Z}$ in der Menge $\overset{1019}{\underset{1001}{\mathbb{N}}}$ wird bestimmt durch

$\mathbb{Z}$ = {z = a*b ʌ a,b ϵ ℕ ʌ a,b > 1}

2 ≤ a ≤ √1019

2 ≤ a ≤ 31

Es müssen nicht alle a zur weiteren Bestimmung verwendet werden, sondern es reichen die Primfaktoren im berechneten Bereich 2 ≤ a ≤ 31.

Mit a = 2 und 500 < b < 510 ergibt sich die Produktmenge

$\mathbb{Z}_{2}$ = {1002, 1004, 1006, 1008, 1010, 1012, 1014, 1016, 1018}

$\overset{1019}{\underset{1001}{\mathbb{N}}}$ \ $\mathbb{Z}_{2}$ = {1001, 1003, 1005, 1007, 1009, 1011, 1013, 1015, 1017, 1019}

Mit a = 3 und 333 < b < 340 ergibt sich die Produktmenge

$\mathbb{Z}_{3}$ = {1002, 1005, 1008, 1011, 1014, 1017}

$\overset{1019}{\underset{1001}{\mathbb{N}}}$ \ $\mathbb{Z}_{2}$ \ $\mathbb{Z}_{3}$ = {1001, 1003, 1007, 1009, 1013, 1015, 1019}

Mit a = 5 und 200 < b < 204 ergibt sich die Produktmenge

$\mathbb{Z}_{5}$ = {1005, 1010, 1015}

$\overset{1019}{\underset{1001}{\mathbb{N}}}$ \ $\mathbb{Z}_{2}$ \ $\mathbb{Z}_{3}$ \ $\mathbb{Z}_{5}$ = {1001, 1003, 1007, 1009, 1013, 1019}

Mit a = 7 und 142 < b < 146 ergibt sich die Produktmenge

$\mathbb{Z}_{7}$ = {1001, 1008, 1015}

$\overset{1019}{\underset{1001}{\mathbb{N}}}$ \ $\mathbb{Z}_{2}$ \ $\mathbb{Z}_{3}$ \ $\mathbb{Z}_{5}$ \ $\mathbb{Z}_{7}$ = {1003, 1007, 1009, 1013, 1019

Mit a = 11 und 90 < b < 93 ergibt sich die Produktmenge

$\mathbb{Z}_{11}$ = {1001, 1012}

$\overset{1019}{\underset{1001}{\mathbb{N}}}$ \ $\mathbb{Z}_{2}$ \ $\mathbb{Z}_{3}$ \ $\mathbb{Z}_{5}$ \ $\mathbb{Z}_{7}$ \ $\mathbb{Z}_{11}$ = {1003, 1007, 1009, 1013, 1019}

Mit a = 13 und 76 < b < 79 ergibt sich die Produktmenge

$\mathbb{Z}_{13}$ = {1001, 1014}

$\overset{1019}{\underset{1001}{\mathbb{N}}}$ \ $\mathbb{Z}_{2}$ \ $\mathbb{Z}_{3}$ \ $\mathbb{Z}_{5}$ \ $\mathbb{Z}_{7}$ \ $\mathbb{Z}_{11}$ \ $\mathbb{Z}_{13}$ = {1003, 1007, 1009, 1013, 1019}

Mit a = 17 und 58 < b < 60 ergibt sich die Produktmenge

$\mathbb{Z}_{17}$ = {1003}

$\overset{1019}{\underset{1001}{\mathbb{N}}}$ \ $\mathbb{Z}_{2}$ \ $\mathbb{Z}_{3}$ \ $\mathbb{Z}_{5}$ \ $\mathbb{Z}_{7}$ \ $\mathbb{Z}_{11}$ \ $\mathbb{Z}_{13}$ \ $\mathbb{Z}_{17}$ = {1007, 1009, 1013, 1019}

Mit a = 19 und 52 < b < 54 ergibt sich die Produktmenge

$\mathbb{Z}_{19}$ = {1007}