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DIE PRIMZAHLENSERIE

Eine Formel für alle Primzahlen

DIE PRIMZAHLENSERIE

Beitrag 29

Eine exakte Formel für alle Primzahlen mit empirischen Schranken

 

Eine der möglichen expliziten Formeln zur Erzeugung der Primzahlen ist gegeben durch

    \[ \begin{aligned} p_i = p(i) &= 2\left\lfloor 0.56458\,i\ln(i)\right\rfloor - 1 \\[4pt] &\quad +\,2\sum_{n_{\max}=\left\lfloor 0.56458\,i\ln(i)\right\rfloor-2}^{\left\lfloor 0.587\,i\ln(i)\right\rfloor} \left\lfloor \left( \frac{i}{ \displaystyle \sum_{n=1}^{n_{\max}} \left( \prod_{k=0}^{\left\lfloor\frac{\sqrt{2n+3}-3}{2}\right\rfloor} \left\lceil 1-\frac{k+\left\lfloor\frac{n-k}{2k+3}\right\rfloor(2k+3)}{n} \right\rceil \right) +3 } \right)^{1/i} \right\rfloor . \end{aligned} \]

Die Formel ist definiert für

    \[ i>2 \quad\text{und}\quad i\in\mathbb{N}, \]

wobei

    \[ p_1=2,\qquad p_2=3 \]

als bekannt vorausgesetzt werden.

Beispiele

Die Formel liefert für wachsende Ordnungszahlen korrekt die aufeinanderfolgenden Primzahlen, etwa

    \[ \begin{aligned} p_3 &= 5,\\ p_4 &= 7,\\ p_5 &= 11,\\ p_6 &= 13,\\ p_7 &= 17,\\ p_8 &= 19,\\ p_9 &= 23,\\ p_{10} &= 29,\\ p_{11} &= 31,\\ p_{12} &= 37,\\ p_{13} &= 41,\\ p_{14} &= 43,\\ p_{15} &= 47,\\ p_{16} &= 53,\\ p_{17} &= 59, \end{aligned} \]

sowie beispielsweise

    \[ \begin{aligned} p_{60} &= 281,\\ p_{100} &= 541,\\ p_{200} &= 1223,\\ p_{300} &= 1987,\\ p_{400} &= 2741,\\ p_{500} &= 3571,\\ p_{600} &= 4409,\\ p_{700} &= 5279,\\ p_{800} &= 6133,\\ p_{900} &= 6997,\\ p_{1000} &= 7919,\\ p_{5000} &= 48611,\\ p_{10000} &= 104729. \end{aligned} \]

Hinweis zur Gültigkeit der verwendeten Schranken

Die in dieser Formel verwendeten **numerischen Schranken** beruhen auf empirisch gewählten Konstanten.
Der **mathematische Kern der Formel** – insbesondere die Struktur des Produktterms, die Summationslogik sowie die Bestimmung der ersten Nullstelle – ist exakt und deterministisch.
Die empirische Natur betrifft ausschließlich die Wahl der unteren und oberen Schranken in den Summationsgrenzen.

Der Basisterm der Konstruktion lautet

    \[ 2\left\lfloor 0.56458\,i\ln i\right\rfloor-1. \]

Eine notwendige Bedingung für die prinzipielle Korrektheit der Formel ist

    \[ 2\left\lfloor 0.56458\,i\ln i\right\rfloor-1 \le p_i, \]

da der verbleibende Summationsterm ausschließlich nichtnegative Beiträge liefert und einen zu großen Basisterm nicht mehr korrigieren kann.

Unter Verwendung der bewiesenen oberen Schranke für die i-te Primzahl

    \[ p_i < i(\ln i+\ln\ln i) \quad\text{(Axler, 2017/2019)} \]

folgt, dass diese Bedingung nur bis zu einer endlichen Ordnungszahl erfüllt sein kann.

Eine formale Abschätzung ergibt für die in diesem Beitrag verwendete untere Schranke eine maximale garantierte Einsatzgrenze von

    \[ i_{\max}=99\,980. \]

Für i>i_{\max} kann die obige Formel aus strukturellen Gründen **nicht mehr garantiert korrekt liefern**, unabhängig von Rechenzeit oder Implementierung.

Anmerkung zur Rechenzeit

Unabhängig von der inhaltlichen Gültigkeit steigt mit wachsender Ordnungszahl i der Rechenaufwand der direkten Auswertung stark an, so dass jede konkrete Implementierung früher oder später an praktische Grenzen stößt.

Hinweis zur Weiterentwicklung

Eine vollständig garantierte Version der expliziten Primzahlformel, die auf bewiesenen Schranken basiert und für alle i gültig ist, wird in **Beitrag 30** vorgestellt.

München, 5. Oktober 2024 / 29. Dezember 2025

Gottfried Färberböck