Über die tatsächliche Anzahl der Primzahlen (2)

DIE PRIMZAHLENSERIE

Beitrag 11

Die Primzahlfunktion $\pi_{s}(n_{max})$

Die Sinus-Primzahlfunktion $\pi_{s}(n_{max})$ ist definiert als die Anzahl aller Primzahlen p, die nicht größer als $2n_{max}+3$ sind.

Die Sinus-Primzahlfunktion $\pi_{s}(n_{max})$ liefert für n_max ∈ ℕ die exakte Anzahl aller Primzahlen bis zu einem gewählten Wert n_max. Es handelt sich also um keinen Näherungswert, sondern um die tatsächliche Anzahl.

$\pi_{s}(n_{max})=1+\sum\limits_{n=0}^{n_{max}}ts(n)$

Legende:

$\sum\limits_{n=0}^{n_{max}}ts(n)$ = Summe aller Ergebnisse von ts(n) ab n=0 bis einschließlich dem gewählten n_max

Beweis:

Mit Hilfe der deterministischen Sinustest-Funktion ts(n) wird für jedes n von n=0 bis zu einem gewählten n_max ts(n) ermittelt und dann zusammenaddiert. Da ts(n) nur die Werte 0 für nicht prim und 1 für prim liefert, werden nur die Anzahl der Primzahlen von n=0 bis zu einem gewählten n_max summiert.

Und da es neben den ungeraden Primzahlen genau eine gerade Primzahl gibt, nämlich die 2, wird in der Funktion $\pi_{s}(n_{max})=1+\sum\limits_{n=0}^{n_{max}}ts(n)$ die 1 dazu addiert.

Was zu beweisen war.

München, 18. Januar 2023

Gottfried Färberböck

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