Die duale Primzahlfunktion

DIE PRIMZAHLENSERIE

Beitrag 9

Die Primzahlfunktion p(n) liefert für n ∈ ℕ größer 0 immer eine Primzahl größer 2.

Die Primzahlfunktion p(n) wird dual bezeichnet, weil sie

für vorhersagbare n ∈ ℕ größer 0 immer die Primzahl 3 als Ergebnis hat

und

für die restlichen n ∈ ℕ größer 0 alle Primzahlen größer 3 liefert.

Die duale Primzahlfunktion lautet:

p(n)=2n*t(n)+3

d.h.

$p(n)=2n\prod\limits_{k=0} ^{\lfloor{\frac{|\sqrt{2n+3}-3|} {2}\rfloor}} \lceil1-\frac{k+\lfloor\frac{n-k}{2k+3}\rfloor(2k+3)}{n}\rceil+3$

wobei n,k ∈ ℕ mit n ≥ 1 und k ≥ 0.

Beweis:

Mit Hilfe der deterministischen Testfunktion t(n)

$t(n)=\prod\limits_{k=0} ^{k_{max}} \lceil1-\frac{k+\lfloor\frac{n-k}{2k+3}\rfloor(2k+3)}{n}\rceil$

mit

$k_{max}=\lfloor{\frac{|\sqrt{2n+3}-3|} {2}\rfloor}$

wird für ein gewähltes n das t(n) ermittelt. Da t(n) nur die Werte 0 für nicht prim und 1 für prim haben kann, gibt es für

p(n)=2n*t(n)+3

folgende Ergebnismöglichkeiten:

t(n)=0 → p(n)=3 → Das gewählte n ergibt in 2n+3 eine zusammengesetzte, ungerade Zahl

t(n)=1 → p(n) ergibt eine Primzahl > 3.

2n+3 für n ∈ ℕ

alle ungeraden Zahlen > 1 liefert und diese nur aus allen zusammengesetzten, ungeraden Zahlen und allen nicht zusammengesetzten, ungeraden Zahlen (= alle Primzahlen > 2) bestehen, müssen alle n, die in t(n)=1 sind, in p(n) alle Primzahlen > 2 sein.

Die vorhersagbaren n ∈ ℕ größer 0, die immer in der Funktion p(n) die Primzahl 3 als Ergebnis haben, müssen natürlich der Formel

n=n_km= 2k²+6k+3+m(2k+3) ʌ k, m ∈ ℕ

entsprechen.

Was zu beweisen war.

München, 24. Oktober 2022

Gottfried Färberböck

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