Über die tatsächliche Anzahl der Primzahlen (3)

DIE PRIMZAHLENSERIE

Beitrag 14

Die Primzahlfunktion $\pi(n_{min},n_{max})$

Die Primzahlfunktion $\pi(n_{min},n_{max})$ ist definiert als die Anzahl aller Primzahlen p, die zwischen $2n_{min}+3$ und $2n_{max}+3$ liegen.

Die Funktion $\pi(n_{min},n_{max})$ liefert von $n_{min}\ge 1$ bis $n_{max}\ge n_{min}$ ∈ ℕ die exakte Anzahl aller Primzahlen, die es in dem gewählten Bereich gibt. Es handelt sich also um keinen Näherungswert, sondern um die tatsächliche Anzahl.

Mit

$\pi(n_{min})=2+\sum\limits_{n=1}^{n_{min}}t(n)$

$\pi(n_{max})=2+\sum\limits_{n=1}^{n_{max}}t(n)$

gemäß Beitrag 8, DIE EXAKTE ANZAHL ALLER PRIMZAHLEN BIS ZU EINEM GEWÄHLTEN WERT können $\pi(n_{min})$ und $\pi(n_{max})$ berechnet werden. Bildet man die Differenz, ergibt sich

$\pi(n_{min},n_{max})=\sum\limits_{n_{min}}^{n_{max}}t(n)$

Legende:

$\sum\limits_{n_{min}}^{n_{max}}t(n)$ = Summe aller Ergebnisse von t(n) von $n_{min}$ bis einschließlich $n_{max}$

Beweis:

Mit Hilfe der deterministischen Testfunktion t(n) wird für jedes n von $n_{min}$ bis $n_{max}$ t(n) ermittelt und dann zusammenaddiert. Da t(n) nur die Werte 0 für nicht prim und 1 für prim liefert, werden nur die Anzahl der Primzahlen von $n_{min}$ bis $n_{max}$ summiert. Da in t(n) für n nicht 0 gesetzt werden darf, muß $n_{min}\ge 1$ sein.

Was zu beweisen war.

München, 10. März 2023

Gottfried Färberböck

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