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DIE PRIMZAHLENSERIE

Die nächste Primzahl

DIE PRIMZAHLENSERIE

Beitrag 23

Die nächste Primzahl

 

Es sei U eine ungerade Zahl. Gesucht sei die nächste Primzahl.

Dies kann bewerkstelligt werden, indem zuerst die Anzahl der Primzahlen bis U und anschließend die erste, U folgende Primzahl ermittelt wird. Ich habe das Verfahren in zwei Schritte aufgeteilt, da Computer bei einem Schritt zu stark belastet würden.

i=\pi(U) sei die Anzahl der Primzahlen bis einschließlich der ungeraden Zahl U. Dann gilt:

i=\pi(U)=2+\sum\limits_{n=1}^{\frac{U-3}{2}}(\prod\limits_{k=0} ^{\frac{\sqrt{2n+3}-3} {2}} \lceil1-\frac{k+\lfloor\frac{n-k}{2k+3}\rfloor(2k+3)}{n}\rceil)

und

p=p(U,i)=U+2*\sum\limits_{n_{max}=\frac{U-3}{2}}^{\frac{U-3}{2}+1.218\sqrt{\frac{U-3}{2}}}\lfloor(\frac{i+1}{\sum\limits_{n=1}^{n_{max}}(\prod\limits_{k=0} ^{\frac{\sqrt{2n+3}-3} {2}} \lceil1-\frac{k+\lfloor\frac{n-k}{2k+3}\rfloor(2k+3)}{n}\rceil)+3})^\frac{1}{i+1})\rfloor

gültig für U ≥ 5 ∧ U \in \mathbb{N}

Beispiele:

Es sei U=5. Eingesetzt in die Formel für \pi(U) ergibt i=3. D.h. bis einschließlich der Zahl 5 gibt es drei Primzahlen. Und tatsächlich: Es sind die Primzahlen 2, 3 und 5. Damit kann die nächst folgende Primzahl p berechnet werden mit p(5,3)=7. Und 7 ist tatsächlich die erst größere Primzahl nach 5.

Es sei U=713. Eingesetzt in die Formel für \pi(U) ergibt i=127. D.h. bis einschließlich der Zahl 713 gibt es 127 Primzahlen. Damit kann p berechnet werden mit p(713,127)=719.

Getestet mit meinem Primzahlentest

t(x)=\sum\limits_{\lceil\frac{x-3}{2}\rceil}^{\lfloor\frac{x-3}{2}\rfloor}(\prod\limits_{k=0} ^{\lfloor{\frac{|\sqrt{2n+3}-3|} {2}\rfloor}} \lceil1-\frac{k+\lfloor\frac{n-k}{2k+3}\rfloor(2k+3)}{n}\rceil)

gültig für x ≥ 4 ∧ x \in \mathbb{R}

ergibt folgende Werte:

t(713)=0 d.h. 713 ist nicht prim

t(715)=0 d.h. 715 ist nicht prim

t(717)=0 d.h. 717 ist nicht prim

t(719)=1 d.h. 719 ist prim

Damit ist nachgewiesen, daß 719 die erste Primzahl ist, die der ungeraden Zahl 713 folgt.

 

München, 21. April 2024

Gottfried Färberböck