Keine Fermat-Pseudoprimzahl der Form u²-2 zur Basis 2

DIE PRIMZAHLENSERIE

Beitrag 31

Keine Fermat-Pseudoprimzahlen der Form $u^2-2$ zur Basis $2$

**Satz.**
Es existiert keine zusammengesetzte ungerade Zahl

$U=u^2-2 \qquad (u\ge3\ \text{ungerade}),$

für die

$2^{U-1}\equiv1\pmod U$

gilt.

—

**Beweis.**
Wir führen den Beweis durch Widerspruch.

Angenommen, es existiert eine zusammengesetzte ungerade Zahl

$U=u^2-2$

mit

$2^{U-1}\equiv1\pmod U.$

Dann ist $U$ eine Fermat-Pseudoprimzahl zur Basis $2$ .
Für jeden Primteiler $p\mid U$ gilt

(1) $\operatorname{ord}_p(2)\mid (U-1)=u^2-3.$

Aus $p\mid u^2-2$ folgt

$u^2\equiv2\pmod p,$

also ist $2$ ein quadratischer Rest modulo $p$ . Damit gilt

$\left(\frac{2}{p}\right)=1,$

und nach dem quadratischen Reziprozitätsgesetz

(2) $p\equiv\pm1\pmod8.$

Da $u$ ungerade ist, gilt $u^2\equiv1\pmod8$ , also

$p\equiv u^2-2\equiv7\pmod8.$

Insbesondere ist $(p-1)/2$ ungerade.
Da $2$ ein Quadrat modulo $p$ ist, folgt

(3) $\operatorname{ord}_p(2)\mid\frac{p-1}{2}.$

Aus (1) und (3) erhalten wir

(4) $\operatorname{ord}_p(2)\mid \gcd\!\left(u^2-3,\frac{p-1}{2}\right).$

**Lemma.** Für jeden Primteiler $p\mid(u^2-2)$ gilt

$\gcd\!\left(u^2-3,\frac{p-1}{2}\right)=1.$

*Beweis des Lemmas.*
Aus $p\mid u^2-2$ existiert ein $k\in\mathbb{Z}$ mit

$u^2=2+kp,$

also

$u^2-3=kp-1.$

Sei

$d=\gcd\!\left(u^2-3,\frac{p-1}{2}\right).$

Dann gilt

$d\mid(kp-1),\qquad d\mid\frac{p-1}{2}.$

Aus $d\mid\frac{p-1}{2}$ folgt

(5) $p\equiv1\pmod{2d}.$

Reduktion von $u^2=2+kp$ modulo $d$ ergibt wegen (5)

(6) $u^2\equiv2+k\pmod d.$

Andererseits folgt aus $d\mid(u^2-3)$

(7) $u^2\equiv3\pmod d.$

Aus (6) und (7) folgt

$k\equiv1\pmod d.$

Damit gilt

$kp-1\equiv p-1\pmod d.$

Da $d\mid(kp-1)$ , folgt $d\mid(p-1)$ .
Da $(p-1)/2$ ungerade ist, ergibt sich

$d\mid\gcd(p-1,\tfrac{p-1}{2})=1,$

also $d=1$ .

—

Aus (4) und dem Lemma folgt

$\operatorname{ord}_p(2)=1,$

also

$2\equiv1\pmod p,$

was für eine Primzahl $p>1$ unmöglich ist.

Der Widerspruch zeigt, dass die Annahme falsch war.
Somit existiert keine zusammengesetzte ungerade Zahl der Form

$U=u^2-2,$

die eine Fermat-Pseudoprimzahl zur Basis $2$ ist.

München, 11. Januar 2026

Gottfried Färberböck

Die deutsche Originalfassung ist als separate PDF-Datei in Version v2 archiviert:
https://doi.org/10.5281/zenodo.18234768