Die Bestimmung aller Primzahlen in einem gewählten Bereich mit der n-Methode

DIE PRIMZAHLENSERIE

Beitrag 6

Die n-Methode basiert auf der Prämisse (1) und den Mengenoperationen (2) bis (5):

(1) 2 ist die kleinste und einzige gerade Primzahl.

(2) $\mathbb{P}$ \ {2} = {p | p = 2n_p+3 ʌ n_p ∈ $\mathbb{N}_{p}}$ }

(3) $\mathbb{N}_{p}}$ = {n_p | n_p ∈ $\mathbb{N}$ ʌ n_p≠ n_km}

(4) $\mathbb{N}_{p}}$ = $\mathbb{N}$ \ $\mathbb{N}_{km}}$

(5) $\mathbb{N}_{km}}$ = {n_km | n_km= 2k²+6k+3+m(2k+3) ʌ k, m ∈ $\mathbb{N}$ }

BEWEIS für (1):

(a) Da es zwischen 1 und 2 keine natürliche Zahl gibt, ist 2 nur durch 1 und sich selbst ganzzahlig teilbar und somit eine Primzahl.

(b) Jede gerade Zahl größer 2 ist durch

(2c + 4) ʌ c ∈ $\mathbb{N}$

gegeben. Dies läßt sich als Produkt

2∙ (c+2) ʌ c ∈ $\mathbb{N}$

darstellen. Somit ist jede gerade Zahl >2 durch 2 ganzahlig teilbar und daher keine Primzahl.

Da keine Primzahl >2 gerade ist, müssen alle anderen Primzahlen ungerade sein. Die Formel

p = 2n_p+3

liefert nur ungerade Zahlen, da 2n_pfür n_p ∈ $\mathbb{N}$ immer gerade oder 0 ist und eine gerade Zahl oder 0 mit 3 addiert immer eine ungerade Zahl ergibt.

BEWEIS für (5):

Setzt man

u_km=2n_km+3

und ersetzt n_kmaus

(5) $\mathbb{N}_{km}}$ = {n_km | n_km= 2k²+6k+3+m(2k+3) ʌ k, m ∈ $\mathbb{N}$ }

ergibt sich:

u_km = 2(2k²+6k+3+m(2k+3))+3

= 4k²+12k+6+2m(2k+3)+3

= 4k²+12k+9+2m(2k+3)

u_km = (2k+3)²+2m(2k+3)

und weiter

u_km =(2k+3) (2k+3+2m)

u_km ist also das Produkt der ungeraden Zahlen

2k+3

und

2k+3+2m

Mit k,m ∈ ℕ liefert (2k+3)(2k+3+2m) alle möglichen Produkte ungerader Zahlen größer 1 und damit alle zusammengesetzten, ungeraden Zahlen größer 1, die es gibt.

Somit liefert

$\mathbb{N}_{km}}$ = {n_km | n_km= 2k²+6k+3+m(2k+3) ʌ k, m ∈ $\mathbb{N}$ }

alle n_km, die in der Formel

u_km=2n_km+3

alle zusammengesetzten, ungeraden Zahlen größer 1 ergeben.

BEWEIS für (4) $\mathbb{N}_{p}}$ = $\mathbb{N}$ \ $\mathbb{N}_{km}}$ :

Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ umfaßt alle n, die in der Formel

U=2n+3

alle ungeraden Zahlen größer 1 ergeben. Und alle ungeraden Zahlen größer 1 können nur zusammengesetzt oder nicht zusammengesetzt (=prim) sein. Da

n_km= 2k²+6k+3+m(2k+3) ʌ k, m ∈ $\mathbb{N}$

alle n liefert, die in U=2n+3 alle zusammengesetzten Zahlen liefern, müssen alle anderen n=n_p sein. Folglich muß

$\mathbb{N}_{p}}$ = $\mathbb{N}$ \ $\mathbb{N}_{km}}$

richtig sein.

BEWEIS für (2) $\mathbb{P}$ \ {2} = {p | p = 2n_p+3 ʌ n_p ∈ $\mathbb{N}_{p}}$ }

und

(3) $\mathbb{N}_{p}}$ = {n_p | n_p ∈ $\mathbb{N}$ ʌ n_p≠ n_km}:

In U=2n+3 kann n nur eines von beiden sein: n_kmoder n_p.

Für die weitere Beweisführung nehmen wir an, es gäbe den Fall, daß n=n_km=n_p ist. Da aber n_km alle n liefert, die in 2n+3 alle zusammengesetzten, ungeraden Zahlen liefert, kann n_kmkeine n liefern, die nicht zusammengesetzte Zahlen (=Primzahlen) liefern. Es müssen also

$\mathbb{P}$ \ {2} = {p | p = 2n_p+3 ʌ n_p ∈ $\mathbb{N}_{p}}$ }

und

$\mathbb{N}_{p}}$ = {n_p | n_p ∈ $\mathbb{N}$ ʌ n_p≠ n_km}

richtig sein.

Was zu beweisen war.

BEISPIEL 1: Es sollen alle Primzahlen zwischen 7100 und 7200 bestimmt werden, sofern vorhanden:

U_min	=	7101	k	m_min	m_max
U_max	=	7199	0	1182	1198
n_min=⌈(U_min -3)/2⌉	=	3549	1	708	717
n_max=⌊(U_max -3)/2⌋	=	3598	2	504	510
k_min	=	0	3	390	395
k_max=⌊1/2*(-3+√U_max)⌋	=	40	4	318	321
m_min=f(k)=⌈(n_min-2k²-6k-3)/(2k+3)⌉			5	267	270
m_max=f(k)=⌊(n_max-2k²-6k-3)/(2k+3)⌋			6	230	232
			7	201	203
Legende:			8	178	179
U_min=kleinste ungerade Zahl im gewählten Bereich			9	159	160
U_max=größte ungerade Zahl im gewählten Bereich			10	143	145
			11	130	131
			12	118	119
			13	108	109
			14	100	100
			15	92	92
			16	84	85
			17	78	78
			18	72	72
			19	67	67
			20	62	62
			21	57	57
			22	53	53
			23	48	48
			24	45	45
			25	41	41
			26	38	37
			27	34	34
			28	31	31
			29	28	28
			30	25	25
			31	23	22
			32	20	20
			33	17	17
			34	15	15
			35	13	12
			36	10	10
			37	8	8
			38	6	6
			39	4	3
			40	2	1

			7100<p<7200
n	n_km	n_p=n-n_km	p=2n_p+3	k	m	n_km=2k²+6k+3+m(2k+3)
3549	3549	0	3	0	1182	3549
3550		3550	7103	0	1183	3552
3551	3551	0	3	0	1184	3555
3552	3552	0	3	0	1185	3558
3553		3553	7109	0	1186	3561
3554	3554	0	3	0	1187	3564
3555	3555	0	3	0	1188	3567
3556	3556	0	3	0	1189	3570
3557	3557	0	3	0	1190	3573
3558	3558	0	3	0	1191	3576
3559		3559	7121	0	1192	3579
3560	3560	0	3	0	1193	3582
3561	3561	0	3	0	1194	3585
3562		3562	7127	0	1195	3588
3563		3563	7129	0	1196	3591
3564	3564	0	3	0	1197	3594
3565	3565	0	3	0	1198	3597
3566	3566	0	3	1	708	3551
3567	3567	0	3	1	709	3556
3568	3568	0	3	1	710	3561
3569	3569	0	3	1	711	3566
3570	3570	0	3	1	712	3571
3571	3571	0	3	1	713	3576
3572	3572	0	3	1	714	3581
3573	3573	0	3	1	715	3586
3574		3574	7151	1	716	3591
3575	3575	0	3	1	717	3596
3576	3576	0	3	2	504	3551
3577	3577	0	3	2	505	3558
3578		3578	7159	2	506	3565
3579	3579	0	3	2	507	3572
3580	3580	0	3	2	508	3579
3581	3581	0	3	2	509	3586
3582	3582	0	3	2	510	3593
3583	3583	0	3	3	390	3549
3584	3584	0	3	3	391	3558
3585	3585	0	3	3	392	3567
3586	3586	0	3	3	393	3576
3587		3587	7177	3	394	3585
3588	3588	0	3	3	395	3594
3589	3589	0	3	4	318	3557
3590	3590	0	3	4	319	3568
3591	3591	0	3	4	320	3579
3592		3592	7187	4	321	3590
3593	3593	0	3	5	267	3554
3594	3594	0	3	5	268	3567
3595		3595	7193	5	269	3580
3596	3596	0	3	5	270	3593
3597	3597	0	3	6	230	3561
3598	3598	0	3	6	231	3576
				6	232	3591
				7	201	3560
				7	202	3577
				7	203	3594
				8	178	3561
				8	179	3580
				9	159	3558
				9	160	3579
				10	143	3552
				10	144	3575
				10	145	3598
				11	130	3561
				11	131	3586
				12	118	3549
				12	119	3576
				13	108	3551
				13	109	3580
				14	100	3579
				15	92	3579
				16	84	3551
				16	85	3586
				17	78	3569
				18	72	3567
				19	67	3586
				20	62	3589
				21	57	3576
				22	53	3594
				23	48	3551
				24	45	3594
				25	41	3576
				26	38	3601
				27	34	3561
				28	31	3568
				29	28	3567
				30	25	3558
				31	23	3606
				32	20	3583
				33	17	3552
				34	15	3584
				35	13	3612
				36	10	3561
				37	8	3579
				38	6	3593
				39	4	3603
				40	2	3609

Ergo: Das Verfahren liefert in dem gewählten Beispiel lückenlos alle Primzahlen (fett gedruckt) zwischen 7100 und 7200.

BEISPIEL 2: Es sollen alle Primzahlen größer 2 und kleiner 1000 bestimmt werden:

U_min	=	3	k	m_min	m_max
U_max	=	999	0	0	165
n_min=⌈(U_min -3)/2⌉	=	0	1	0	97
n_max=⌊(U_max -3)/2⌋	=	498	2	0	67
k_min	=	0	3	0	51
k_max=⌊1/2*(-3+√U_max)⌋	=	14	4	0	39
m_min=f(k)=⌈(n_min-2k²-6k-3)/(2k+3)⌉	=	0	5	0	31
m_max=f(k)=⌊(n_max-2k²-6k-3)/(2k+3)⌋			6	0	25
			7	0	20
Legende:			8	0	16
U_min=kleinste ungerade Zahl im gewählten Bereich			9	0	13
U_max=größte ungerade Zahl im gewählten Bereich			10	0	10
			11	0	7
			12	0	5
			13	0	2
			14	0	0

			2<p<1000
n	n_km	n_p=n-n_km	p=2n_p+3	k	m	n_km=2k²+6k+3+m(2k+3)
0		0	3	0	0	3
1		1	5	0	1	6
2		2	7	0	2	9
3	3	0	3	0	3	12
4		4	11	0	4	15
5		5	13	0	5	18
6	6	0	3	0	6	21
7		7	17	0	7	24
8		8	19	0	8	27
9	9	0	3	0	9	30
10		10	23	0	10	33
11	11	0	3	0	11	36
12	12	0	3	0	12	39
13		13	29	0	13	42
14		14	31	0	14	45
15	15	0	3	0	15	48
16	16	0	3	0	16	51
17		17	37	0	17	54
18	18	0	3	0	18	57
19		19	41	0	19	60
20		20	43	0	20	63
21	21	0	3	0	21	66
22		22	47	0	22	69
23	23	0	3	0	23	72
24	24	0	3	0	24	75
25		25	53	0	25	78
26	26	0	3	0	26	81
27	27	0	3	0	27	84
28		28	59	0	28	87
29		29	61	0	29	90
30	30	0	3	0	30	93
31	31	0	3	0	31	96
32		32	67	0	32	99
33	33	0	3	0	33	102
34		34	71	0	34	105
35		35	73	0	35	108
36	36	0	3	0	36	111
37	37	0	3	0	37	114
38		38	79	0	38	117
39	39	0	3	0	39	120
40		40	83	0	40	123
41	41	0	3	0	41	126
42	42	0	3	0	42	129
43		43	89	0	43	132
44	44	0	3	0	44	135
45	45	0	3	0	45	138
46	46	0	3	0	46	141
47		47	97	0	47	144
48	48	0	3	0	48	147
49		49	101	0	49	150
50		50	103	0	50	153
51	51	0	3	0	51	156
52		52	107	0	52	159
53		53	109	0	53	162
54	54	0	3	0	54	165
55		55	113	0	55	168
56	56	0	3	0	56	171
57	57	0	3	0	57	174
58	58	0	3	0	58	177
59	59	0	3	0	59	180
60	60	0	3	0	60	183
61	61	0	3	0	61	186
62		62	127	0	62	189
63	63	0	3	0	63	192
64		64	131	0	64	195
65	65	0	3	0	65	198
66	66	0	3	0	66	201
67		67	137	0	67	204
68		68	139	0	68	207
69	69	0	3	0	69	210
70	70	0	3	0	70	213
71	71	0	3	0	71	216
72	72	0	3	0	72	219
73		73	149	0	73	222
74		74	151	0	74	225
75	75	0	3	0	75	228
76	76	0	3	0	76	231
77		77	157	0	77	234
78	78	0	3	0	78	237
79	79	0	3	0	79	240
80		80	163	0	80	243
81	81	0	3	0	81	246
82		82	167	0	82	249
83	83	0	3	0	83	252
84	84	0	3	0	84	255
85		85	173	0	85	258
86	86	0	3	0	86	261
87	87	0	3	0	87	264
88		88	179	0	88	267
89		89	181	0	89	270
90	90	0	3	0	90	273
91	91	0	3	0	91	276
92	92	0	3	0	92	279
93	93	0	3	0	93	282
94		94	191	0	94	285
95		95	193	0	95	288
96	96	0	3	0	96	291
97		97	197	0	97	294
98		98	199	0	98	297
99	99	0	3	0	99	300
100	100	0	3	0	100	303
101	101	0	3	0	101	306
102	102	0	3	0	102	309
103	103	0	3	0	103	312
104		104	211	0	104	315
105	105	0	3	0	105	318
106	106	0	3	0	106	321
107	107	0	3	0	107	324
108	108	0	3	0	108	327
109	109	0	3	0	109	330
110		110	223	0	110	333
111	111	0	3	0	111	336
112		112	227	0	112	339
113		113	229	0	113	342
114	114	0	3	0	114	345
115		115	233	0	115	348
116	116	0	3	0	116	351
117	117	0	3	0	117	354
118		118	239	0	118	357
119		119	241	0	119	360
120	120	0	3	0	120	363
121	121	0	3	0	121	366
122	122	0	3	0	122	369
123	123	0	3	0	123	372
124		124	251	0	124	375
125	125	0	3	0	125	378
126	126	0	3	0	126	381
127		127	257	0	127	384
128	128	0	3	0	128	387
129	129	0	3	0	129	390
130		130	263	0	130	393
131	131	0	3	0	131	396
132	132	0	3	0	132	399
133		133	269	0	133	402
134		134	271	0	134	405
135	135	0	3	0	135	408
136	136	0	3	0	136	411
137		137	277	0	137	414
138	138	0	3	0	138	417
139		139	281	0	139	420
140		140	283	0	140	423
141	141	0	3	0	141	426
142	142	0	3	0	142	429
143	143	0	3	0	143	432
144	144	0	3	0	144	435
145		145	293	0	145	438
146	146	0	3	0	146	441
147	147	0	3	0	147	444
148	148	0	3	0	148	447
149	149	0	3	0	149	450
150	150	0	3	0	150	453
151	151	0	3	0	151	456
152		152	307	0	152	459
153	153	0	3	0	153	462
154		154	311	0	154	465
155		155	313	0	155	468
156	156	0	3	0	156	471
157		157	317	0	157	474
158	158	0	3	0	158	477
159	159	0	3	0	159	480
160	160	0	3	0	160	483
161	161	0	3	0	161	486
162	162	0	3	0	162	489
163	163	0	3	0	163	492
164		164	331	0	164	495
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				10	3	332
				10	4	355
				10	5	378
				10	6	401
				10	7	424
				10	8	447
				10	9	470
				10	10	493
				11	0	311
				11	1	336
				11	2	361
				11	3	386
				11	4	411
				11	5	436
				11	6	461
				11	7	486
				12	0	363
				12	1	390
				12	2	417
				12	3	444
				12	4	471
				12	5	498
				13	0	419
				13	1	448
				13	2	477
				14	0	479

Ergo: Das Verfahren liefert in dem gewählten Beispiel lückenlos alle Primzahlen (fett gedruckt) größer 2 und kleiner 1000.

München, 7. August 2019

Gottfried Färberböck

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DIE PRIMZAHLENSERIE

Die Bestimmung aller Primzahlen in einem gewählten Bereich mit der n-Methode