Die Bestimmung aller Primzahlen in einem gewählten Bereich mit der u-Methode

DIE PRIMZAHLENSERIE

Beitrag 5

Behauptung für die Primzahlenmenge $\mathbb{P}$ : Mit der Mengenoperation

$\mathbb{P}$ = $\mathbb{U}_{2}$ \ $\mathbb{U}_{km}$

sind alle Primzahlen bestimmbar.

Legende:

$\mathbb{P}$ steht für die unendliche Menge aller Primzahlen

$\mathbb{U}_{2}$ steht für die unendliche Menge aller ungeraden Zahlen größer 1 und der Zahl 2

\ ist das Symbol, das bei der Differenzbildung zweier Mengen verwendet wird

$\mathbb{U}_{km}$ steht für die unendliche Menge aller zusammengesetzten, ungeraden Zahlen größer 1

Definition: Eine zusammengesetzte, ungerade Zahl ist das Produkt von mindestens zwei ungeraden Zahlen, die jeweils größer als 2 sind.

Beweis:

2 ist die einzige gerade Primzahl, da alle geraden Zahlen größer 2 durch 2 ohne Rest teilbar sind. Alle Primzahlen größer 2 müssen demnach ungerade sein. Alle ungeraden Zahlen größer 2 sind gegeben durch $\mathbb{U}$ mit

$\mathbb{U}$ = {u | u = 2n+3 ʌ n ∈ ℕ} = {3,5,7,9,11,13,15…}

$\mathbb{U}_{2}$ = {2, $\mathbb{U}$ } = {2,3,5,7,9,11,13,15…}

Behauptung für $\mathbb{U}_{km}$ : Alle zusammengesetzten, ungeraden Zahlen größer 1 sind durch $\mathbb{U}_{km}$ gegeben mit

$\mathbb{U}_{km}$ = {u_km | u_km = u²+2mu ʌ u = 2k+3 ʌ k, m ∈ ℕ}

Beweis für die Behauptung für $\mathbb{U}_{km}$ :

Die Gleichung

u_km = u²+2mu

läßt sich umformen in

u_km = u(u+2m)

u_km ist also das Produkt der ungeradenen Zahlen u und (u+2m).

Setzt man u = 2k+3 in u_km = u(u+2m) ergibt sich

u_km = (2k+3)(2k+3+2m)

Mit k,m ∈ ℕ liefert (2k+3)(2k+3+2m) alle möglichen Produkte ungerader Zahlen größer 1 und damit alle zusammengesetzten, ungeraden Zahlen größer 1, die es gibt.

Somit liefert

$\mathbb{U}_{km}$ = {u_km | u_km = u²+2mu ʌ u = 2k+3 ʌ k, m ∈ ℕ}

alle zusammengesetzten, ungeraden Zahlen größer 1, die es gibt.

Fortsetzung des Beweises der Behauptung für die Primzahlenmenge $\mathbb{P}$ :

Da in der Menge $\mathbb{U}_{2}$ alle ungeraden Zahlen größer 2 und die Zahl 2 enthalten sind und $\mathbb{U}_{km}$ alle zusammengesetzten, ungeraden Zahlen größer 1 beinhaltet, müssen alle anderen Zahlen Primzahlen sein. Somit ist $\mathbb{P}$ die Komplementärmenge von $\mathbb{U}_{km}$ bezüglich $\mathbb{U}_{2}$ .

$\mathbb{P}$ = $\mathbb{U}_{2}$ \ $\mathbb{U}_{km}$

$\mathbb{P}$ ∩ $\mathbb{U}_{km}$ = Ø

Es folgt daraus

$\mathbb{P}$ = $\mathbb{U}_{2}$ \ $\mathbb{U}_{km}$ = {p | p ∈ $\mathbb{U}_{2}$ ʌ p ∉ $\mathbb{U}_{km}$ } = $\mathbb{C}_{\mathbb{U}_{2}$ $(\mathbb{U}_{km})$

Was zu beweisen war.

Bespiel 1: Bestimme alle Primzahlen 1<p<1000.

$\mathbb{P}$ = $\mathbb{U}_{2}$ \ $\mathbb{U}_{km}$

${\mathbb{U}_{2}}}$ = {2,3,5,7,9,11, …, $U_{max}$ }

$U_{max}$ =999

${\mathbb{U}_{2}}}$ = {2,3,5,7,9,11, …,999}

$\mathbb{U}_{km}$ = {u_km | u_km= (2k+3)²+2m(2k+3) ʌ k, m ∈ ℕ}

$\mathbb{U}_{km}$ = {u_km | u_km= (2k+3)²+2m(2k+3) ʌ k, m ∈ ℕ ʌ 0 ≤ k ≤ $k_{max}$ ʌ 0 ≤ m ≤ $m_{max_{k}}$ }

$U_{max}=(2k_{max}+3)^2$

$k_{max}=\lfloor\frac{\sqrt{U_{max}}-3}{2}\rfloor$

$k_{max}=\lfloor\frac{\sqrt{999}-3}{2}\rfloor$

$k_{max}=14$

$U_{max}=(2k+3)^2+2m_{max_{k}}(2k+3)$

$m_{max_{k}}=\lfloor\frac{U_{max}-9-4k^2-12k}{4k+6}\rfloor$

$\mathbb{U}_{km}$ = {u_km | u_km= (2k+3)²+2m(2k+3) ʌ k, m ∈ ℕ ʌ 0 ≤ k ≤ $\lfloor\frac{\sqrt{U_{max}}-3}{2}\rfloor$ ʌ 0 ≤ m ≤ $\lfloor\frac{U_{max}-9-4k^2-12k}{4k+6}\rfloor$ }

$\mathbb{U}_{km}$ = {u_km | u_km= (2k+3)²+2m(2k+3) ʌ k, m ∈ ℕ ʌ 0 ≤ k ≤ 14 ʌ 0 ≤ m ≤ $\lfloor\frac{999-9-4k^2-12k}{4k+6}\rfloor$ }

$\mathbb{U}_{km}$ {u_km | u_km= (2k+3)²+2m(2k+3) ʌ k, m ∈ ℕ ʌ 0 ≤ k ≤ 14 ʌ 0 ≤ m ≤ $\lfloor\frac{990-4k^2-12k}{4k+6}\rfloor$ }

$\mathbb{U}_{km}$ = $\overset{\mathbb{U}_{k0}}{\underset{\mathbb{U}_{0m}}{\mathbb{V}}}$

$\overset{\mathbb{U}_{k0}}{\underset{\mathbb{U}_{0m}}{\mathbb{V}}}$ ist die Vereinigungsmenge aller Mengen von $\mathbb{U}_{0m}}$ bis $\mathbb{U}_{k0}}$

Für k=0 folgt:

$m_{max_{0}}=\lfloor\frac{990-4*0^2-12*0}{4*0+6}\rfloor=165$

$\mathbb{U}_{0m}$ = {u_0m | u_0m=9+6m ʌ m ∈ ℕ ʌ 0≤m≤165}={9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,87,93,99,105,
111,117,123,129,135,141,147,153,159,165,171,177,
183,189,195,201,207,213,219,225,231,237,243,249,
255,261,267,273,279,285,291,297,303,309,315,321,
327,333,339,345,351,357,363,369,375,381,387,393,
399,405,411,417,423,429,435,441,447,453,459,465,
471,477,483,489,495,501,507,513,519,525,531,537,
543,549,555,561,567,573,579,585,591,597,603,609,
615,621,627,633,639,645,651,657,663,669,675,681,
687,693,699,705,711,717,723,729,735,741,747,753,
759,765,771,777,783,789,795,801,807,813,819,825,
831,837,843,849,855,861,867,873,879,885,891,897,
903,909,915,921,927,933,939,945,951,957,963,969,
975,981,987,993,999}

Für k=1 folgt: $\mathbb{U}_{1m}$ = {u_1m | u_1m=25+10m ʌ m ∈ ℕ ʌ 0≤m≤97}={25,35,45,55,65,75,85,95,105,115,125,135,145,155,
165,175,185,195,205,215,225,235,245,255,265,275,
285,295,305,315,325,335,345,355,365,375,385,395,
405,415,425,435,445,455,465,475,485,495,505,515,
525,535,545,555,565,575,585,595,605,615,625,635,
645,655,665,675,685,695,705,715,725,735,745,755,
765,775,785,795,805,815,825,835,845,855,865,875,
885,895,905,915,925,935,945,955,965,975,985,995}

Für k=2 folgt: $\mathbb{U}_{2m}$ = {u_2m | u_2m=49+14m ʌ m ∈ ℕ 0≤m≤67}={49,63,77,91,105,119,133,147,161,175,189,203,217,
231,245,259,273,287,301,315,329,343,357,371,385,
399,413,427,441,455,469,483,497,511,525,539,553,
567,581,595,609,623,637,651,665,679,693,707,721,
735,749,763,777,791,805,819,833,847,861,875,889,
903,917,931,945,959,973,987}

Für k=3 folgt: $\mathbb{U}_{3m}$ braucht nicht berücksichtigt werden, da 2*3+3=9 durch 3 teilbar ist und bei k=0 bereits beinhaltet ist.

Für k=4 folgt: $\mathbb{U}_{4m}$ = {u_4m | u_4m=121+22m ʌ m ∈ ℕ 0≤m≤39}={121,143,165,187,209,231,253,275,297,319,341,363,
385,407,429,451,473,495,517,539,561,583,605,627,
649,671,693,715,737,759,781,803,825,847,869,891,
913,935,957,979}

Für k=5 folgt: $\mathbb{U}_{5m}$ = {u_5m | u_5m=169+26m ʌ m ∈ ℕ 0≤m≤31}={169,195,221,247,273,299,325,351,377,403,429,455,
481,507,533,559,585,611,637,663,689,715,741,767,
793,819,845,871,897,923,949,975}

Für k=6 folgt: $\mathbb{U}_{6m}$ braucht nicht berücksichtigt werden, da 2*6+3=15 durch 3 teilbar ist und bei k=0 bereits beinhaltet ist.

Für k=7 folgt: $\mathbb{U}_{7m}$ = {u_7m | u_7m=289+34m ʌ m ∈ ℕ 0≤m≤20}={289,323,357,391,425,459,493,527,561,595,629,663,
697,731,765,799,833,867,901,935,969}

Für k=8 folgt: $\mathbb{U}_{8m}$ = {u_8m | u_8m=361+38m ʌ m ∈ ℕ 0≤m≤16}={361,399,437,475,513,551,589,627,665,703,741,779,
817,855,893,931,969}

Für k=9 folgt: $\mathbb{U}_{9m}$ braucht nicht berücksichtigt werden, da 2*9+3=21 durch 3 teilbar ist und bei k=0 bereits beinhaltet ist.

Für k=10 folgt: $\mathbb{U}_{10m}$ = {u_10m | u_10m=529+46m ʌ m ∈ ℕ 0≤m≤10}={529,575,621,667,713,759,805,851,897,943,989}

k=11 kann außer Acht gelassen werden, da 2*11+3=25 durch 5 teilbar ist und bei k=1 bereits beinhaltet ist.

k=12 kann außer Acht gelassen werden, da 2*12+3=27 durch 3 teilbar ist und bei k=0 bereits beinhaltet ist.

Für k=13 folgt: $\mathbb{U}_{13m}$ = {u_13m | u_13m=841+58m ʌ m ∈ ℕ 0≤m≤2}={841,899,957}

Für k=14 folgt: $\mathbb{U}_{14m}$ = {u_14m | u_14m=961+62m ʌ m ∈ ℕ 0≤m≤0}={961}

$\mathbb{U}_{km}$ = $\overset{\mathbb{U}_{k0}}{\underset{\mathbb{U}_{0m}}{\mathbb{V}}}$ =
{9,15,21,25,27,33,35,39,45,49,51,55,57,63,65,69,75,
77,81,85,87,91,93,95,99,105,111,115,117,119,121,123,
125,129,133,135,141,143,145,147,153,155,159,161,
165,169,171,175,177,183,185,187,189,195,201,203,
205,207,209,213,215,217,219,221,225,231,235,237,
243,245,247,249,253,255,259,261,265,267,273,275,
279,285,287,289,291,295,297,299,301,303,305,309,
315,319,321,323,325,327,329,333,335,339,341,343,
345,351,355,357,361,363,365,369,371,375,377,381,
385,387,391,393,395,399,403,405,407,411,413,415,
417,423,425,427,429,435,437,441,445,447,451,453,
455,459,465,469,471,473,475,477,481,483,485,489,
493,495,497,501,505,507,511,513,515,517,519,525,
527,529,531,533,535,537,539,543,545,549,551,553,
555,559,561,565,567,573,575,579,581,583,585,589,
591,595,597,603,605,609,611,615,621,623,625,627,
629,633,635,637,639,645,649,651,655,657,663,665,
667,669,671,675,679,681,685,687,689,693,695,697,
699,703,705,707,711,713,715,717,721,723,725,729,
731,735,737,741,745,747,749,753,755,759,763,765,
767,771,775,777,779,781,783,785,789,791,793,795,
799,801,803,805,807,813,815,817,819,825,831,833,
835,837,843,845,847,849,851,855,861,865,867,869,
871,873,875,879,885,889,891,893,895,897,901,903,
905,909,913,915,917,921,923,925,927,931,933,935,
939,943,945,949,951,955,957,959,963,965,969,973,
975,979,981,985,987,989,993,995,999}

$\mathbb{P}$ = $\mathbb{U}_{2}$ \ $\mathbb{U}_{km}$ =
{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,
71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,
139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,
199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,
271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,
349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,419,
421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,
491,499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,
577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,641,643,
647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,
733,739,743,751,757,761,769,773,787,797,809,811,
821,823,827,829,839,841,853,857,859,863,877,881,
883,887,899,907,911,919,929,937,941,947,953,961,
967,971,977,983,991,997}

Dies sind alle Primzahlen p, die es zwischen 1 und 1000 gibt.

Beispiel 2: Bestimme alle Primzahlen 5400<p<5500, sofern vorhanden.

$\mathbb{P}$ = $\mathbb{U}$ \ $\mathbb{U}_{km}$

${\mathbb{U}}}$ = {5401,5403,5405,5407,….,5499}

$u_{min}$ =5401

$u_{max}$ =5499

$k_{max}=\lfloor\frac{\sqrt{U_{max}}-3}{2}\rfloor$

$k_{max}=\lfloor\frac{\sqrt{5499}-3}{2}\rfloor=35$

$u{_{km}}_{min}=(2k+3)\lceil\frac{U_{min}}{2k+3}\rceil$

$u_{km}=(2k+3)\lceil\frac{u_{min}}{2k+3}\rceil+m(2k+3)$

$m_{max}=\lfloor\frac{U_{max}-U_{min}}{2k+3}\rfloor$

$\mathbb{U}_{km}$ = { $u_{km} | u_{km}$ = $(2k+3)$ $\lceil\frac{U_{min}}{2k+3}\rceil+m(2k+3)$ ʌ k, m ∈ ℕ ʌ 0 ≤ k ≤ $\lfloor\frac{\sqrt{U_{max}}-3}{2}\rfloor$ ʌ 0 ≤ m ≤ $\lfloor\frac{U_{max}-U_{min}}{2k+3}\rfloor}$ }

$\mathbb{U}_{km}$ = { $u_{km} | u_{km}$ = $(2k+3)$ $\lceil\frac{5401}{2k+3}\rceil+m(2k+3)$ ʌ k, m ∈ ℕ ʌ 0 ≤ k ≤ $\lfloor\frac{\sqrt{5499}-3}{2}\rfloor$ ʌ 0 ≤ m ≤ $\lfloor\frac{5499-5401}{2k+3}\rfloor}$ }

$\mathbb{U}_{km}$ = { $u_{km} | u_{km}$ = $(2k+3)$ $\lceil\frac{5401}{2k+3}\rceil+m(2k+3)$ ʌ k, m ∈ ℕ ʌ 0 ≤ k ≤ 35 ʌ 0 ≤ m ≤ $\lfloor\frac{98}{2k+3}\rfloor}$ }

$\mathbb{U}_{km}$ ={5401,5402,5403,5404,5405,5406,5408,5409,5410,
5411,5412,5415,5418,5420,5421,5423,5424,5425,
5427,5428,5429,5430,5432,5433,5434,5435,5436,
5439,5440,5442,5445,5446,5447,5448,5450,5451,
5452,5453,5454,5455,5456,5457,5459,5460,5461,
5463,5465,5466,5467,5469,5470,5472,5473,5474,
5475,5476,5478,5480,5481,5484,5485,5486,5487,
5488,5489,5490,5491,5493,5494,5495,5496,5497,
5499,5500,5502,5504,5505,5508,5510,5518,5520,
5525,5535,5537,5538}

$\mathbb{P}$ = $\mathbb{U}$ \ $\mathbb{U}_{km}=$

{5407,5413,5417,5419,5431,5437,5441,5443,5449,
5471,5477,5479,5483}

Dies sind alle Primzahlen p, die es zwischen 5400 und 5500 gibt.

München, 7. August 2019

Gottfried Färberböck

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